在统计学中，卡方检验（Chi-Square Test）是一种用于分析实际观测值与期望值之间差异的方法。它广泛应用于分类数据的独立性检验以及拟合优度检验。卡方检验的核心在于计算卡方统计量，并通过比较该统计量与临界值来判断假设是否成立。

卡方检验的基本公式为：

\[ \chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i} \]

其中：

- \( O_i \) 表示第i个类别的实际观测频数；

- \( E_i \) 表示第i个类别的期望频数；

- \( \chi^2 \) 是卡方统计量。

这个公式的含义是，将每个类别中观测值与期望值之间的偏差平方后除以期望值，然后将所有类别的结果相加。这样做的目的是量化观测数据与理论分布之间的差异程度。

在使用卡方检验时，我们需要满足以下几个条件：

1. 数据必须是分类数据；

2. 每个样本点只能归属于一个类别；

3. 样本数量足够大，通常要求每个类别的期望频数不小于5。

卡方检验的结果可以通过查表得到对应的p值，进而决定是否拒绝原假设。如果p值小于预先设定的显著性水平（如0.05），则可以认为观测数据与理论分布存在显著差异。

需要注意的是，卡方检验仅适用于定性变量，对于连续型变量则需要先将其离散化处理。此外，在进行多维列联表分析时，还需要考虑自由度的变化对结果的影响。

总之，掌握好卡方检验公式及其应用范围，可以帮助我们更好地理解和解决现实生活中的统计问题。