【正切和角公式推导过程?】在三角函数中，正切的和角公式是一个重要的内容，常用于解决与角度相加相关的三角问题。该公式可以由正弦和余弦的和角公式推导而来，是三角函数中较为基础且实用的知识点。
一、公式总结
正切的和角公式为：
$$
\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \cdot \tan\beta}
$$
这个公式适用于所有使得分母不为零的角度 $\alpha$ 和 $\beta$。
二、推导过程（文字说明）
1. 利用正弦和余弦的和角公式：
$$
\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta
$$
$$
\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta
$$
2. 根据正切的定义：
$$
\tan(\alpha + \beta) = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)}
$$
3. 将上述两个公式代入正切定义中：
$$
\tan(\alpha + \beta) = \frac{\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta}{\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta}
$$
4. 分子和分母同时除以 $\cos\alpha \cos\beta$：
$$
\tan(\alpha + \beta) = \frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\sin\beta}{\cos\beta}}{1 - \frac{\sin\alpha \sin\beta}{\cos\alpha \cos\beta}}
$$
5. 用 $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ 和 $\tan\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta}$ 代替：
$$
\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \cdot \tan\beta}
$$
三、关键步骤表格
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 使用正弦和余弦的和角公式 |
| 2 | 根据正切的定义表达式 |
| 3 | 将正弦和余弦的和角公式代入正切表达式 |
| 4 | 分子和分母同除以 $\cos\alpha \cos\beta$ |
| 5 | 用正切函数代替正弦与余弦的比值，得到最终公式 |
四、应用举例
例如，已知 $\tan\alpha = 1$，$\tan\beta = \frac{1}{2}$，则：
$$
\tan(\alpha + \beta) = \frac{1 + \frac{1}{2}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = 3
$$
通过以上推导和应用示例，我们可以清晰地理解正切和角公式的来源与使用方法。掌握这一公式有助于在实际计算中快速求解角度和的问题。
